Ceyhun SEZENOĞLU

Durum Uzayı metodunun kavranması:

Durum uzayı kavramı, sistem denklemlerinin, vektör matris takımı halinde ifade edilebilen, n tane birinci dereceden diferansiyel denkleme dönüştürülmesi esasına dayanır. Vektör matris notasyonunun kullanımı, sistem denklemlerinin matematiksel gösterimini büyük ölçüde basitleştirir.

Durum uzayı kavramı kullanılarak dizayn edilen bir sistem sayesinde mühendis kontrol sistemini verilen performans ölçütüne göre tasarlayabilir. Üstelik durum uzayında gerçekleştirilen tasarım, adım fonksiyonu, impuls (dürtü) fonksiyonu ve sinüsoidal fonksiyon gibi belirli birtakım girişlerin dışında kullanıcının tanımlayacağı işaretlerle de sınanabilir. Ayrıca durum uzayı metotları mühendisin başlangıç koşullarını da tasarıma dahil etmesine izin verir. Bu geleneksel tasarım metotlarında mümkün olmayan çok kullanışlı ve faydalı bir özelliktir.

Şimdi sırasıyla, durum, durum değişkeni, durum vektörü ve durum uzayı denklemleri kavramlarını verelim.

Durum:

Dinamik bir sistemin durumu, durum değişkeni olarak adlandırılan değişkenlerden oluşmuş en küçük kümedir, öyleki sistemin  t >= t₀’daki davranışı,  bu değişken lerin t = t₀ anındaki değerleri ve girişin t >= t₀ anı için aldığı değerle birlikte tamamen belirlenir. Şunu da belirtmek gerekir ki durum kavramı asla fiziksel sistemlerle sınırlandırılamaz. Biyolojik ekonomik ve sosyal sistemler gibi sistemlere de uygulanabilirdir.

Durum değişkenleri:

Dinamik bir sistemin durumunu belirleyen değişkenlerin en küçük kümesini oluşturan elemanlara, sistemin durum değişkenleri denir. Eğer dinamik sistemin davranışını tamamen belirlemek için x₁, x₂,……x_n gibi en az n tane değişkene ihtiyaç duyuluyorsa (öyle ki bir defaya mahsus t = t₀ anındaki başlangıç durumu ve t >= t₀ anındaki giriş değeri verildiğinde, sistemin gelecekteki durumu tamamen belirlenebilsin) o halde bu n tane değişken durum değişkenleri kümesini oluşturur.

Belirtmek gerekir ki durum değişkenlerinin fiziksel olarak ölçülebilir yada gözlenebilir büyüklükler olması da gerekmez. Fiziksel büyüklüklerle temsil edilemeyen ve ne ölçülebilir ne de gözlenebilir olmayan büyüklükler, durum değişkeni olarak seçilebilirler. Durum değişkenlerinin seçimindeki bu serbestlik, durum değişkenleri metotlarının avantajlarındandır. Pratik anlamda konuşacak olursak, optimal kontrol yasaları bütün durum değişkenlerinin belli bir ağırlıkta geribeslemesini gerektirdiğinden, durum değişkenlerinin kolayca ölçülebilen büyüklüklerden seçilmesi uygun olur.

Durum vektörü:

Eğer verilen sistemin davranışını tam olarak ifade etmek için n tane değişkene ihtiyaç duyuluyorsa, o halde bu n tane değişken n elemanlı bir x vektörü olarak gözönüne alınabilir. Böyle bu vektör durum vektörü olarak adlandırılır. Durum vektörü öyle bir vektördür ki, bir defaya mahsus t = t₀ anındaki başlangıç durumu ve t >= t₀ anındaki u(t) giriş değeri verildiğinde sistemin herhangi bir t >= t₀ anındaki x(t) durumunu tek başına ifade edebilir.

Durum uzayı:

Koordinat eksenleri, x₁, x₂,…..x_n eksenlerinden oluşmuş n boyutlu uzay, durum uzayı olarak adlandırılır. Herhangi bir durum, durum uzayında bir nokta ile temsil edilebilir.

Durum uzayı denklemleri:

Durum uzayı analizinde, dinamik sistemlerin modellenmesinde kullanılan üç tip değişkenle ilgileneceğiz: giriş değişkenleri, çıkış değişkenleri ve durum değişkenleri. Verilen bir sistem için durum uzayı gösterimi tek değildir, ayrıca aynı sistemin farklı durum uzayı gösterimleri için durum değişkenlerinin sayısı aynı olmalıdır.

Referanslar:

[1] Kontrol Sistemlerinde Durum Uzay Yöntemleri Ders Notu, Yrd.Doç.Dr. Şeref Naci Engin, Dersin Sayfası, Kontrol Sistemlerinde Durum Uzay Yöntemleri Ders Notu